[Game Jams] [Snow Footprint] 01. Deformer

12월 공부 리스트인 중 하나인 Snow Footprint 프로젝트 분석을 위한 기초 공부 자료입니다.

본 포스팅은 http://developer.download.nvidia.com/books/HTML/gpugems/gpugems_ch42.html 의 내용을 번역 및 실습하며 이루어집니다.

1.     디포머란?

A.   명시적 정의 : 정점들의 집합을 연산했을 때 이 기존 정점들의 집합이 새로운 좌표를 가질 수 있도록 하는 연산자를 Deformer라고 한다.

                         i.         조건 :

1.     Deformer에 의해 새로운 Vertex나 Edge가 생기면 안됩니다.

2.     Deformer에 의해 변형된 정점은 다른 정점의 변화과정을 통해 영향을 받으면 안됩니다.

A.      위 규칙을 어기는 예 :

                                                    i.         Vertex Averaging :

주어진 Vertice의 중심 값을 의미합니다.

                                                   ii.         Vertex Smoothing (Laplacian Smoothing) :
폴리곤 매쉬를 부드럽게 만드는 알고리즘으로,

N = 노드 i에 연결된 인접 노드의 개수, x’_j는 j번째 인접 노드의 좌표, x’_i 는 새로 생긴 좌표입니다.

3.     같은 Defomer를 통해 위치 벡터를 변환시키면 벡터장에 상관없이 같은 결과가 나와야 합니다. (선형성 성립)

B.     수학적 정의

                         i.          일반적으로, 우리는 deformer를 vector 함수, f(x,y,z)라 생각합니다. 하지만 다음과 같이도 표현이 가능합니다. (f_x(x,y,z), f_y(x,y,z), f_z(x,y,z))
두 번째 표현 같은 경우엔 기존 (x, y, z) 좌표를 각각의 컴포넌트 함수 f_x, f_y, f_z를 사용해 새로운 벡터를 만드는 것을 의미합니다.

                        ii.         Wave와 같이 공간에 의존하는 Deformer는 각 좌표계에서 각기 다른 결과를 도출 할 것 입니다.

                       iii.         회전, 닮음, 대칭, 이동과 같은 선형 변환은 모든 Deformer의 가장 간단한 하위 집합입니다. 이런 선형변환은 좌표 집합을 입력으로 받고  새로운 좌표 집합을 행렬 곱 형태로 출력합니다. 

B.      Controls

                         i.         deform 연산은 deformer의 컨트롤에 의존하며, 이 컨트롤이란 deformer 연산에 영향을 미치는 parameter입니다.
예를 들어, wave deformer의 결과는 wave의 진동수에 의존하며 이를 기술적으로 해석하면, 함수 f는 freq 변수에 의존한다고도 볼 수 있습니다.
그러나 우린 f(x, y, z, freq) 와 같이 표현하진 않을 겁니다. 대신 freq를 deformation을 위해 주어진 상수라고 생각할 것 입니다.
(freq는 정점들이 deformer에 의해 변형돼도 변하지 않습니다. 따라서 freq는 함수 f의 구성함수 중 적어도 하나에 상수로써 사용 될 것 입니다.)
변형 연산을 animate하기 위해 사용되는 time parameter도 마찬가지로 상수가 될 것 입니다.
(time parameter t는 x, y, z와 의존관계가 없음으로, f의 상수로 사용될 것 입니다.)

2.     GPU에서의 Deforming

A. Deformer를 공식화하기

                         i.    Deformer 연산을 우리의 수학적 정의와 맞게 공식화하면 법선 벡터(Normal) 을 계산하는데 용이 합니다.
(만약 y 축으로 2만큼 증가 시키는 deformer가 있다면 이를 함수 f형태로 표현하면, f(x,y,z) = (f_x ,f_y ,f_z ) = (x,y + 2,z) 로 표현 할 수 있습니다. )
만약 우리가 방사형의 wave deformer를 구현한다면, 

                          위와 같이 l 가 위상제어 parameter인 함수 f를 만들게 될 것 입니다.

B. Vertex Shader 작성해보기

                         i.  위 과정에서 deformer에 대한 함수를 작성했다면, 이 함수를 통해 정점을 수정하는 프로그램을 짜야 합니다. 

Direct3D를 통한 그래픽스 작업에서 폴리곤은 아래 자료와 같은 Stage를 거쳐 처리됩니다.

(출처 : http://www.realtimerendering.com)

여기서 우리가 관심을 가져야 할 것은 처음에 있는 Vertex Stage입니다. 여기서 정점에 대한 연산을 하기에, 앞서 

만든 Deformer Function을 이 곳에서 구현해야 합니다.

이런 그래픽 파이프라인에 관여 가능한 소스코드를 작성하기 위해, 각 그래픽 라이브러리는 다양한 언어를 지원합니다. 

대표적 으로 Direct3D는 HLSL, OpenGL은 GLSL, 그리고 Cg가 있으며, 

여기선 Unity Engine을 사용 할 것이기Cg Programming Language를 사용 합니다.

                        ii. Shader 작성

1.   Property

A.     _Amplitude : Wave의 높이 상수입니다.

B.      _Frequency : Wave의 발생 빈도를 나타내는 상수입니다.

C.    _Speed : Animate 속도에 곱해지는 계수입니다.

D.     _Anchor : 이번 예제에선 정점의 월드 좌표계를 이용하기 때문에, 상대좌표를 얻기 위해 방사형의 시점이 될 월드좌표가 여기 저장됩니다.

E.      _Cover : 사용되는 Mesh의 월드 사이즈를 담습니다.

2.    DisplaceFunc

Mesh의 정점을 가공하는데 필요한 리소스를 계산하는 역할의 함수입니다. 

본 함수에선 정점의 월드좌표 worldPos와 방사 시점과의 상대 좌표 relativePos를 얻습니다.

3. WaveFunc

앞서 공식화 했던 f를 코드화한 부분입니다.

A. dist : 방사형의 시점에서부터 정점까지의 거리를 저장하는 변수입니다.

B. 월드 좌표 pos를 수정하는 기본 과정은 다음과 같습니다.

                                                    i. 새로운 좌표에서의 pos.y = 기존 pos.y + _Amplitude * sin (_Frequency * dist - _Time.y * _Speed) / dist

                                                   ii. 마지막에 나눈 dist는 방사의 원점에서 멀어질수록 물결이 약해지는 효과를 줍니다. 하지만 dist가 0에 가까워질수록 한 없이 강한 물결이 만들어지기에, dist에 제한을 두어 제한을 넘길시 dist로 나누는 대신 _Cover * 2를 곱해 일정 높이를 유지하게 만들었습니다.

4. 결과

5. 정점의 Deforming은 간단하게 해결됐습니다. 하지만 변경된 정점의 법선 벡터 (Normal)는 어떻게 구할 수 있을까요?

A. Normal 이란?

                                                    i. 선형 변환은 매트릭스로 표현이 가능합니다. 우리는 이 매트릭스(M)의 역을 통해 Normal을 구할 수 있었는데, Wave Deformer 같은 경우엔 대게 비선형 변환이라 매트릭스 표현이 불가능해집니다.
(이유는 homomorphism 키워드를 통해 공부 하실 수 있습니다.)
따라서 우리는 이 비선형 변환에서도 Normal을 구할 수 있는 새 방법이 필요합니다.

B. 근사 수치 기법

                                                    i. deformed 된 normal을 얻기 위한 방법 중 하나며, 모든 입력 정점에 대해 세 정점을 deforming 함으로써 근사한 normal 값을 구 합니다. 세 점 중 하나는 입력 정점이며, 나머지 두 정점은 각각 입력정점을 tangent 방향으로, binormal (bitangent) 방향으로 매우 약간 이동시킴으로써 얻을 수 있습니다. 이렇게 만든 세 정점은 2개의 벡터를 만들며, 이 두 벡터를 외적하면 Normal 벡터를 얻을 수 있습니다. 이를 이용해서, 세 정점을 Deforming 하고 얻은 Deformed 된 정점들로 Normal을 구할 수 있습니다. 이 방법은 세 정점이 가까이 모여있을수록 더 정확한 값을 얻을 수 있습니다.

C. The Jacobian Matrix

                                                    i. 만약 deformer f(x, y, z) = (f_x, f_y, f_z)가 연속인 1차 편미분을 갖는다면 우리는 Jacobian Matrix (called J)를 사용 할 수 있습니다. 우리는, f(x)가 끊김 없이 부드럽게 이어진다면 이 함수는 근사적으로 직선으로 간주 할 수 있다는 점을 이용해서 f(x) ~ f'(a)(x - a) + f(a)를 J를 이용해서 f(x) ~ J(a)(x - a) + f(a) 와 같이 표현 할 수 있습니다. 이는 ‘테일러 정리’에 의해 밝혀진 부분이니 궁금하신 내용은 추가적으로 공부하시면 됩니다.

                                                   ii. J 선형변환 : 

이제 위를 이용하여 원하는 position을 deform 할 수 있으며, J * tangent, J * binormal 를 통해 deformed된 tangent와 binormal을 얻을 수 있습니다.

                                                  iii. J를 통한 Normal 계산 :

6.     근사 수치 기법을 이용한 프로그래밍
이 포스팅 이후 진행 할 프로젝트 분석(Tessellator)에선 근사 수치 기법으로 normal을 구했기 때문에 원문과는 다르게 근사 수치 기법으로 normal를 구해보겠습니다.

7.     수정된 DisplaceFunc


한 개의 입력 정점의 월드 좌표와 두 개의 가상 정점을 만드는 과정이 추가됐습니다. 과정에서 bitangent가 필요해 최 상단에 bitangent를 추가로 구했습니다.


Anchor와의 상대좌표를 얻습니다. 이는 방사의 시점에서부터 정점까지의 거리를 측정하는데 사용됩니다.


세 정점을 모두 Deforming 합니다.


Deformed 된 정점으로부터 구한 두 Vector를 통해 deformed normal을 구합니다.

8.     Normal을 추가한 효과를 보기 위해 Light를 추가해봅시다.

9.     결과